Métodos
de demostración
Primer
momento o participación
Mostrar: Se
puede asignar como el acto de exponer algo, una situación, una premisa o
axioma, de una manera en el que se pueda mirar claramente por cualquiera.
Ejemplo 1: El fiscal mostro
al detenido como culpable por el asesinato en Puebla
Ejemplo 2: -8-9 = -17
Demostrar: es
la acción de comprobar, probar ese algo, esa situación o axioma con diversas
herramientas para expresar su veracidad, acompañado con las pruebas pertinentes
para cada caso.
Ejemplo 1: El abogado del
supuesto culpable demostró su inocencia al comprobar que su defendido no se
encontraba en el país.
Ejemplo 2:
(-) + (-) = -
(+)+(+) = +
(+)+ (-) = signo de mayor valor
define el signo
(-)+ (+) = signo de mayor
valor define el signo entonces (-8) + (-9) = -17
Diferencia
entre mostrar y demostrar: se puede decir que mostrar es exponer
algo, una premisa o axioma sin tener argumento alguno, aunque a exista una conclusión,
y demostrar en comprobar eso que se expone justificando por cualquier medio pertinente
Ejemplo: mostrar: el valor
de x en la ecuación 2x+2= 16 es un numero primo
Demostración: sustitución 2x = 16 -2
2x = 14
x=14/2
x=7 \ x es un numero primo
Determinar por qué en matemáticas no basta con mostrar un enunciado
En matemáticas es importante
demostrar las conclusiones o resultados mediante el lenguaje propio, pues un
simple enunciado no basta para justificar, aunque el resultado parezca lógico.
Ejemplo: Alicia García no es
secretaria y Beatriz López no es maestra (aunque lógicamente podemos deducir el
resultado es importante justificarlo)
A:
Alicia García B: Alicia García
q:
es secretaria r: es maestra
(A®Øq) Ʌ (B®Ør)
\(A®r) Ʌ (B®q)
Para este primer momento no hay
referencias
Segundo
momento o participación
Progresivo-regresivo:
Consiste en aplicar el método regresivo a partir de premisas hipotéticas que
lleven a una conclusión y mediante deducciones y procedimientos varios
encontrar una conclusión equivalente a la original que sea más sencilla de demostrar.
Paso
1 identificar proposiciones A®B en donde A es la hipótesis y B la conclusión
Paso
2 paso regresivo para buscar una proposición secundaria B1, B2... que se demuestren como verdadera, al demostrar
cualquiera de estas, entonces podemos concluir que la proposición original es
verdadera, después se formula una pregunta ¿Cuándo o como es verdad que…B?, se
establece una nueva proposición y se verifica que tenga solución, si no es así
se sigue con el siguiente paso
Paso
3 aplicar el método progresivo en la hipótesis A1, A2… y combinar las
proposiciones o axiomas.
Paso
4 aplicar todas las operaciones matemáticas hasta encontrar la solución.
Método
de demostración directa: se utiliza cuando existe un
enunciado, a partir de hipótesis que se toman como verdaderas para avanzar
progresivamente en la demostración hasta lograr la conclusión.
Se
basa en el fundamento lógico Modus Ponendo Ponens (PPT)
P→Q
P
--------
\ Q
Método
por reducción al absurdo: parte de la negación de la
conclusión, y se empieza a trabajar con la hipótesis
El
método se basa en la equivalencia (P→Q)
↔ [(P ∧¬Q) →C]
p®q sea la premisa
Paso
1 Øq
negar la conclusión
Paso
2 se incluye la nueva hipótesis Øq
Paso
3 del conjunto de hipótesis obtener una contradicción que se escribirá Øq®C
Método
por inducción matemática: También
conocido como demostración indirecta, se usa para probar o demostrar que
algunas operaciones, premisas o axiomas se verifican para cualquier número
natural, utilizando el cuantificador universal
(Ɐn, ϵN) según el video (C, 2011)
Principio: si una propiedad p se cumple para un
numero natural k cualquiera, también se cumplirá para su sucesor
k+1 y por consiguiente se cumplirá para cualquier número natural.
Paso
1.- Se prueba la proposición dada para n=1
Paso
2.- Se prueba para n=k, lo cual se acepta como verdadero por ser la hipótesis
de la inducción.
Paso
3.- Si la propiedad se cumple para n=1 y para n=k, entonces se prueba para
n=k+1.
Método
de demostración por contraejemplo:
Se
utiliza para demostrar que la falsedad de proposiciones cuya hipótesis sea mediante
un cuantificador universal.
Principio:
el argumento debe de tener una estructura con premisas verdaderas y conclusión
falsa.
Si A
entonces B
ØA
-----------------------
Por
lo tanto no B
Método
de demostración por casos: es utilizado para demostrar
que una premisa de implicación es verdadera p®q en donde se debe de demostrar que la
conclusión parte de la hipótesis.
Teorema: sean a y b números reales, si a = 0 o b = 0
entonces a.b = 0
Método de demostración por contraposición: Se utiliza cuando se requiere demostrar una implicación lógica, su
principio se fundamenta en negar la conclusión para obtener la negación de la hipótesis (Fonnegra,
s.f.)
p®q
\Øq®Øp
Bibliografía
C, C. (s.f.). YOU TUBE. Recuperado el 21 de 02 de
2018, de Metodos de demostración:
https://www.youtube.com/watch?v=FiO_AT0MszY&feature=youtu.be
Fonnegra, C. A. (s.f.). MÉTODO
GENERAL PARA LA DEMOSTRACIÓN DE PROPOSICIONES MATEMÁTICAS. Recuperado el
21 de 02 de 2018, de
http://www.konradlorenz.edu.co/images/stories/articulos/metodo_demostracion_matematicas.pdf
Santacruz, C. A. (02 de 2008). LOS
MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN EN MATEMÁTICA. Guatemala. Recuperado el 20 de 02 de
2018, de http://biblioteca.usac.edu.gt/tesis/07/07_1914.pdf
UnADM. (2018). Unidad 2. Metodos de
demostración . Recuperado el 22 de 02 de 2018, de
https://unadmexico.blackboard.com/webapps/blackboard/execute/content/blankPage?cmd=view&content_id=_1489195_1&course_id=_47392_1&mode=reset
